Question

【題目】如圖，直線l：y＝x＋b (b>0)，拋物線C：y2＝2px(p>0)，已知點(diǎn)P(2，2)在拋物線C上，且拋物線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為.

(1)求直線l及拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點(diǎn)P)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線l的方程為y＝x＋2，拋物線C的方程為y2＝2x.；（2）存在，且2.

【解析】試題分析：(1)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到等量關(guān)系，再聯(lián)立兩直線方程得到另一等量關(guān)系，兩者結(jié)合即可證明.

試題解析：(1)∵點(diǎn)P(2,2)在拋物線C上，∴p＝1.

設(shè)與直線l平行且與拋物線C相切的直線l′的方程為y＝x＋m，

由

得x2＋(2m－2)x＋m2＝0，Δ＝(2m－2)2－4m2＝4－8m，

由Δ＝0，得m＝，

則直線l′的方程為y＝x＋.

兩直線l，l′間的距離即為拋物線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離，

有＝，

解得b＝2或b＝－1(舍去)．

∴直線l的方程為y＝x＋2，拋物線C的方程為y2＝2x.

(2)∵直線AB的斜率存在，且k≠0，

∴設(shè)直線AB的方程為y－1＝k(x－2)(k≠0)，

即y＝kx－2k＋1.

聯(lián)立

得ky2－2y－4k＋2＝0(k≠0)，

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝ (k≠0)，y1y2＝ (k≠0)．

∵k1＝＝＝，k2＝，

∴k1＋k2＝＋

＝

＝＝ (k≠0)．

聯(lián)立

得xM＝，yM＝，

∴k3＝＝，

∴k1＋k2＝2k3.

∴存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3成立，且λ＝2.