Question

（2014•鄭州一模）設(shè)函數(shù)f(x)=

3

cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|＜

π

2

)，且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則（　　）

• A．y=f（x）的最小正周期為π，且在(0，

  π

  2

  )上為增函數(shù)
• B．y=f（x）的最小正周期為π，且在(0，

  π

  2

  )上為減函數(shù)
• C．y=f（x）的最小正周期為

  π

  2

  ，且在(0，

  π

  4

  )上為增函數(shù)
• D．y=f（x）的最小正周期為

  π

  2

  ，且在(0，

  π

  4

  )上為減函數(shù)

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式提取2，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式，求出函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，將x=0代入函數(shù)解析式中的角度中，并令結(jié)果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數(shù)，代入確定出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間確定出函數(shù)的得到遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），可得出（0，

π

2

）?[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），即可得到函數(shù)在（0，

π

2

）上為減函數(shù)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng)．

解答：解：f（x）=

3

cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[

3

2

cos（2x+φ）+

1

2

sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ-

π

6

），
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π，
又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，
∴φ-

π

6

=kπ（k∈Z），即φ=kπ+

π

6

（k∈Z），
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z），
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
又（0，

π

2

）?[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴函數(shù)在（0，

π

2

）上為減函數(shù)，
則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，

π

2

）上為減函數(shù)．
故選B

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，余弦函數(shù)的對稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，其中將函數(shù)解析式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是本題的突破點(diǎn)．