Question

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性.

（1）y=2x－lnx；

（2）y= +cosx；

（3）y=x³－x.

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

其導(dǎo)數(shù)f′（x）=2－.

令2－＞0，解得x＞.

令2－＜0，解得0＜x＜.

因此（，+∞）為該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，（0，）為該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?B>R.

f′（x）=－sinx.

令－sinx＞0，解得2kπ－π＜x＜2kπ+（k∈Z）.

令－sinx＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+π（k∈Z）.

因此f（x）在（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）上為減函數(shù)，在（2kπ－，2kπ+）（k∈Z）上為增函數(shù).

（3）函數(shù)的定義域?yàn)?B>R.

令y′=3x²－1＞0，得x＜－或x＞.

令y′=3x²－1＜0，得－＜x＜.

∴y=x³－x有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，其中在（－∞，－）及（，+∞）上是增函數(shù)，在（－，）上為減函數(shù).

點(diǎn)評：（1）研究函數(shù)單調(diào)性的程序是：先確定其定義域，再求導(dǎo)，最后通過f′（x）＞0與f′（x）＜0來求出其單調(diào)區(qū)間.

（2）（3）題中增區(qū)間有兩個(gè)，但不能取并集.

（3）（2）題中符號（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）表示若干個(gè)單調(diào)區(qū)間，不表示并集，它相當(dāng)于（，）、（，）、….