Question

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性．
（1）y=a1-x2（a＞0且a≠1）；
（2）y=log

1

2

（4x-x³）．

Answer 1

分析：（1）對底數(shù)a分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，根據(jù)y=a^x和y=1-x²兩個函數(shù)的單調(diào)性，即可求出復(fù)合函數(shù)y=a1-x2（a＞0且a≠1）的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性；
（2）先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為

1

2

，確定外函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)為y=4x-x³，利用導(dǎo)數(shù)大于0和導(dǎo)數(shù)小于0，分別確定出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，最后即可求出復(fù)合函數(shù)y=log

1

2

（4x-x³）的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性．

解答：解：（1）令t=1-x²，則y=a^t，
①當(dāng)a＞1時，y=a^t在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，而t=1-x²在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y=a1-x2在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)0＜a＜1時，y=a^t在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，而t=1-x²在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y=a1-x2在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜合①②，當(dāng)a＞1時，y=a1-x2在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時，y=a1-x2在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵y=log

1

2

（4x-x³），要使函數(shù)有意義，則4x-x³＞0，解得，x＜-2或0＜x＜2，
∴y=log

1

2

（4x-x³）的定義域為（-∞，-2）∪（0，2）．
令g（x）=4x-x³，g′（x）=-3x²+4，
令g′（x）=-3x²+4＞0，解得，-

2 3

3

＜x＜

2 3

3

，
令g′（x）=-3x²+4＜0，解得，x＜-

2 3

3

或x＞

2 3

3

，
∴g（x）=4x-x³在(-

2 3

3

，

2 3

3

)上單調(diào)遞增，在(-∞，-

2 3

3

)∪(

2 3

3

，+∞)上單調(diào)遞減，
y=log

1

2

x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)y=log

1

2

（4x-x³）的定義域為（-∞，-2）∪（0，2），
∴函數(shù)y=log

1

2

（4x-x³）在(0，

2 3

3

)上單調(diào)遞減，在（-∞，-2）和(

2 3

3

，2)上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)分別以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為背景．對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的值有關(guān)，若底數(shù)是參數(shù)的話，要注意對參數(shù)的分類討論．另外對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要注意把握“同增異減”來判斷，求單調(diào)區(qū)間時要考慮函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．屬于中檔題．