Question

【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.

(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；

(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析

【解析】證明： (1)因?qū)Χ�義域內(nèi)的任意x1、x2都有

f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

令x1＝x，x2＝－1，

則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．

再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，

從而f(－1)＝0，

于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．

(2)設(shè)0<x1<x2，

則f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·)＝f(x1)－[f(x1)＋f()]＝－f()，

由于0<x1<x2，所以>1，從而f()>0，

故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．