Question

【題目】在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為減函數(shù)，而xf（x）為增函數(shù)，則稱f（x）為D上的弱減函數(shù)．若f（x）=
（1）判斷f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是否為弱減函數(shù)；
（2）當x∈[1，3]時，不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由初等函數(shù)性質(zhì)知， 在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

而 在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以 是[0，+∞）上的弱減函數(shù)

（2）

解：不等式化為 在x∈[1，3]上恒成立，則 ，

而 在[1，3]單調(diào)遞增，∴ 的最小值為 ， 的最大值為 ，

∴ ，∴a∈[﹣1， ]

（3）

解：由題意知方程 在[0，3]上有兩個不同根，

① 當x=0時，上式恒成立；

②當x∈（0，3]時，則由題意可得方程 只有一解，

根據(jù) ，

令 ，則t∈（1，2]，

方程化為 在t∈（1，2]上只有一解，所以

【解析】（1）利用初等函數(shù)的性質(zhì)、弱減函數(shù)的定義，判斷 是[0，+∞）上的弱減函數(shù)．（2）根據(jù)題意可得 ，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，可得a的范圍．（3）根據(jù)題意，當x∈（0，3]時，方程 只有一解，分離參數(shù)k，換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得k的范圍．