Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像相切，求的值；

（2）若， ，函數(shù)滿足對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍；

（3）若，函數(shù),且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）若，函數(shù)的圖像與的圖像相切，設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為，所以解得即可(2)根據(jù)在遞增.不妨設(shè)，原不等式，即.設(shè)，則原不等式在上遞減即在上恒成立,采用變量分離,求新函數(shù)的最值即可得解(3) 函數(shù) , ，由題意知是的兩根，根據(jù)， ,構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可求最小值.

試題解析：

（1）若，函數(shù)的圖像與的圖像相切，設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為，所以得.所以.

（2）當(dāng)時(shí)， ， ，所以在遞增.

不妨設(shè)，原不等式，即.

設(shè)，則原不等式在上遞減

即在上恒成立.所以在上恒成立.

設(shè)，在上遞減，所以，所以，又，所以.

（3）若，函數(shù)

，由題意知是的兩根，

∴， ，

令，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減， 的最小值為

即的最小值為.