Question

【題目】如圖，有一塊半圓形空地，開發(fā)商計(jì)劃建一個(gè)矩形游泳池ABCD及其矩形附屬設(shè)施EFGH，并將剩余空地進(jìn)行綠化，園林局要求綠化面積應(yīng)最大化．其中半圓的圓心為O，半徑為R，矩形的一邊AB在直徑上，點(diǎn)C、D、G、H在圓周上，E、F在邊CD上，且，設(shè)

（1）記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為，求的表達(dá)式；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，能符合園林局的要求？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)滿足時(shí)，符合園林局要求.

【解析】試題分析：（1）由圓的性質(zhì)可得， ， ，由 為等邊三角形，

可得， ， ，所以 ，結(jié)合三角形面積公式可得結(jié)果 ；（2）由可得極值點(diǎn)滿足， ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值.

試題解析：（1）由題意， ， ，且 為等邊三角形，

所以， ， ，

， ．

（2）要符合園林局的要求，只要最小，

由（1）知，

令，即，解得或（舍去），

令 .

當(dāng)時(shí)， 是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值.

答：當(dāng)滿足時(shí)，符合園林局要求.

思路點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于難題. 與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.理解本題題意的關(guān)鍵是：將游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為關(guān)于 的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)解答.