Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2，n∈N⁺），a₁=1．
（Ⅰ）求證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

2n-1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)等式兩邊同除以a_na_n-1可得

1

an

-

1

an-1

=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得結(jié)論，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得

1

an

，進(jìn)而可得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2，n∈N^*），得

1

an

-

1

an-1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是公差為1的等差數(shù)列，

1

an

=

1

a1

+n-1=n，得a_n=

1

n

；
（Ⅱ）b_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
則2•T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．