Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）記T_n為數(shù)列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)對?n∈N₊恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）有條件可得

log	(an+1+1) 2

=2log₂（a_n+1），變形可得

bn+1

bn

=2，從而數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）求出數(shù)列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的通項為

1

n

-

1

n+1

，可得T_n =1-

1

n+1

＜1，要使不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)對?n∈N₊恒成立，只要 log0.5(a2-

1

2

a)≥1  即可，即

a2- a 2 ＞0 a2- a 2 ≤ 1 2

，
解不等式組求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴

log	(an+1+1) 2

=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴

bn+1

bn

=2，∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴

1

log2bn+1•log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，∵不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)對?n∈N₊恒成立，
只要 log0.5(a2-

1

2

a)≥1=log_0.5^0.5  即可，即

a2- a 2 ＞0 a2- a 2 ≤ 1 2

，即 

a＜0  或 a＞ 1 2 - 1 2 ≤ a ≤1

，
解得-

1

2

≤a＜0，或 

1

2

＜a≤1，故a的取值范圍 為[-

1

2

，0）∪（

1

2

，1]．

點評：本題主要考查數(shù)列求和和的方法，等比關系的確定，以及函數(shù)的恒成立問題，尋找使不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)對?n∈N₊恒成立的條件，是解題的難點．