Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為的中點(diǎn)為.

（1）求拋物線方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)是軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線與圓的位置關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求得拋物線的準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線的定義，得到，求得的值，即可求得拋物線方程；

（2）根據(jù)題意，求得的坐標(biāo)，得出和的方程，聯(lián)立方程組，即可求解；

（3）得到圓的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2，分類討論，即可求得直線和圓的位置關(guān)系，得到答案.

（1）由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，

可得，解得，所以拋物線方程為.

（2）令，代入拋物線的方程，解得，

因?yàn)辄c(diǎn)在的上方，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，4），

由題意，得，

又因?yàn)?/span>，可得，又由，所以，

所以的方程為，的方程為，

解方程組，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）由題意，得圓的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與圓相離；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即為，

圓心到直線的距離，

令，解得，

所以當(dāng)時(shí)，直線與相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相交.