Question

【題目】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且直線的斜率分別為，則中有幾個是定值？反過來是否成立？

Answer 1

【答案】3個均為定值，反過來不一定成立

【解析】

根據(jù)直線是否存在斜率進(jìn)行分類討論，當(dāng)存在斜率時，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可，當(dāng)不存在斜率時，直接求出坐標(biāo)，再進(jìn)行驗(yàn)證；反過來時，假設(shè)三個都是定值，直線是否存在斜率進(jìn)行分類討論，當(dāng)存在斜率時，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)不存在斜率時，直接求出坐標(biāo)，再進(jìn)行判斷直線是否過拋物線的焦點(diǎn)即可；

解：設(shè)直線的方程為，即．

代入，得，則．

又．

若直線與軸垂直，由，得．

可求得，則．

故均為定值．

反過來，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，即，代入拋物線方程，得，則

．

即直線過焦點(diǎn)．若直線的斜率不存在，也同樣有此結(jié)論．

若，則可能為拋物線上軸上方的兩點(diǎn)，則此直線一定不過焦點(diǎn)．

因此由不能得到直線過焦點(diǎn)．

若．

故當(dāng)時，直線也過焦點(diǎn)，若直線的斜率不存在，也同樣有此結(jié)論．

綜上所述可知，分別為定值；反過來，只有時，才有直線過焦點(diǎn)．