Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，平面ABCD，，點(diǎn)E，F為PC，PA的中點(diǎn)．

（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；

（2）二面角E—BD—F的大小；

（3）設(shè)點(diǎn)M在PB(端點(diǎn)除外)上,試判斷CM與平面BDF是否平行，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）CM與平面BDF不平行，詳見解析

【解析】

（1）連接AC與BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接FO，證明平面ABCD，得到答案.

（2）以O為原點(diǎn)，以OB，OC，OE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算坐標(biāo)得到平面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.

（3）假設(shè)存在，設(shè)，計(jì)算得到，所以不存在.

（1）證明：連接AC與BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接FO，

由已知E，O分別為PC，AC中點(diǎn)，可得EO//PA,

又因?yàn)?/span>平面ABCD，

所以平面ABCD，平面BDE

所以平面BDE⊥平面ABCD.

（2）以O為原點(diǎn)，以OB，OC，OE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AB=a，因?yàn)榈酌?/span>ABCD為菱形，且∠ABC=60°，，則AC=a，

，，，，，，

則，.

設(shè)平面BFD的法向量為，

則有，即，即

令，則

又由（1）可知為平面BDE的法向量，

所以二面角E—BD—F的大小為

（3）因?yàn)辄c(diǎn)M在PB(端點(diǎn)除外)上，設(shè)，

則，，

所以CM與平面BDF不平行.