Question

【題目】設橢圓的左、右焦點分別是，下頂點為，線段的中點為（為坐標原點），如圖，若拋物線與軸的交點為，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于點、兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，得，再由，，得，即可求出橢圓的，即可求得橢圓的方程；（2）設，表示過點的拋物線想的切線方程，與橢圓方程聯立，利用弦長公式表示傳線段的長度，再求出點到直線的距離為，表示傳的面積，由于其是參數的函數，利用函數的知識求出其最大值，即可得到面積的最大值.

試題解析：⑴由題意可知，則，故.

令得即，則，，故.

所以，于是橢圓的方程為

⑵設，由于知直線的方程為：.即.

代入橢圓方程整理得：，

，

，，

故.

設點到直線的距離為，則

，所以，的面積

.

當時取到“＝”，經檢驗此時，滿足題意.

綜上可右，的面積的最大值為.