Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，有，橢圓的離心率為；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，過點作直線與橢圓交于不同兩點，線段的中垂線為，線段的中點為點，記與軸的交點為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）運(yùn)用橢圓的定義可得a，再由離心率公式可得c，b，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)l：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，求得直線的方程，可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點距離公式可得|MQ|，運(yùn)用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得所求范圍．

（1）因為，所以，所以，

因為，所以， 所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)：，，，，

聯(lián)立直線與橢圓，消去得，

，，

又，解得：，

，，

所以，

所以：，即，

化簡得：，

令，得，即，

，

令，則，16

所以，

所以．