Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)的直線，過(guò)F2與x軸垂直的直線記為，右準(zhǔn)線記為；

①設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)M，直線與直線相交于點(diǎn)N，證明恒為定值，并求此定值。

②若連接并延長(zhǎng)與直線相交于點(diǎn)Q，橢圓的右頂點(diǎn)A，設(shè)直線PA的斜率為，直線QA的斜率為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）① ②

【解析】

（1）利用橢圓的定義可知，再根據(jù)離心率求，即可寫(xiě)出橢圓方程（2）①求出M,N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，化簡(jiǎn)即可求出為定值②設(shè)點(diǎn)（），點(diǎn)Q，表示出 ，再利用點(diǎn)P在橢圓上，化為關(guān)于的函數(shù)，即可求出范圍.

（1）由題意知 ，則 ,又 可得 ,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①M(fèi) N

②點(diǎn)（），點(diǎn)Q，

∵，，

∴==．

∵點(diǎn)P在橢圓C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范圍是．