Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性并證明；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 在上的單調(diào)遞減, 證明見解析 ;(2) ； (3) 見解析.

【解析】

(1) 當(dāng)時(shí),利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明.
(2)利用分離參數(shù)的方法將不等式恒成立，化為，然后求最值即可.
(3) 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)，可數(shù)形結(jié)合分析得出答案.

(1) 當(dāng),時(shí), 在單調(diào)遞減.

證明：任取，

=

由，有，，

所以，即.

則，

所以當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)遞減.

(2) 不等式恒成立,即

所以在上恒成立.

而(當(dāng)即 時(shí)取得等號(hào))，所以.

(3)由即,

所以 ,

設(shè)作出函數(shù)的圖象，如下.

由圖可知:當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn);