Question

已知定義域為R 的函數(shù)f （x）有一個零點為1，f （x）的導函數(shù)f′(x)=

1

2

(x+1)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n 項的和S_n=f（a_n）（n∈N*），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的導數(shù)為f′(x)=

1

2

(x+1)，可以判斷函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法，即可求得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)S_n=f（a_n），即可求得S_n的表達式，利用S_n與a_n的之間的關(guān)系，可以得到a_n與a_n-1之間的關(guān)系，確定了數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求出首項和公差，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵f （x）的導函數(shù)f′(x)=

1

2

(x+1)，
∴f（x）為二次函數(shù)，設(shè)f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+c，
∵函數(shù)f （x）有一個零點為1，
∴f（1）=0，即

1

4

+

1

2

+c=0，
∴c=-

3

4

，
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x-

3

4

，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

1

4

x2+

1

2

x-

3

4

；
（2）∵數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n=f（a_n），
∴S_n=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，①
當n=1時，S₁=a₁=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，解得a₁=-1（舍），a₁=3，
當n≥2時，S_n-1=

1

4

an-12+

1

2

an-1-

3

4

，②
①-②，可得S_n-S_n-1=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

-（

1

4

an-12+

1

2

an-1-

3

4

），
∴a_n=

1

4

an2-

1

4

an-12+

1

2

a_n-

1

2

an-1，
整理可得，an2-an-12-2a_n-2a_n-1=0，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1．

點評：本題考查了導數(shù)的運算，函數(shù)解析式的求法以及常用方法，數(shù)列的函數(shù)特性．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．數(shù)列的很多問題可以利用它的函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的問題．屬于中檔題．