Question

如圖，橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A（4，m）在橢圓E上，且，點D（2，0）到直線F₁A的距離．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點P位橢圓E上的任意一點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題意可得c的值和F₁、F₂的坐標(biāo)，又因為可表示出AF₂、AF₁，再由sin∠AF₁F₂=可得到a，b的關(guān)系式，最后根據(jù)a²=b²+c²可求出a，b的值，確定橢圓方程．
（2）先設(shè)點p的坐標(biāo)，根據(jù)其在橢圓上可得到其橫縱坐標(biāo)的關(guān)系（用x表示y），然后表示出向量后進(jìn)行數(shù)量積運算得到關(guān)于x的二次函數(shù)，再由x的取值范圍可確定的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知，c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
∵sin∠AF₁F₂=，DH=，DF₁=6，
又∵=0，
∴AF₂=，AF₁=2a-，
∴，則，
由a²=b²+c²，得
∴b²=48，a²=64∴橢圓方程為．

（2）設(shè)點P（x，y），則，即
∵，
∴==
∵-8≤x≤8，∴的取值范圍是[36，72]．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)和向量的數(shù)量積運算．屬基礎(chǔ)題．