Question

【題目】已知拋物線，過(guò)定點(diǎn)作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn).

（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值；

（2）設(shè)線段的垂直分線與x軸交于點(diǎn)，求n的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）定點(diǎn)為。

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得的二次方程，判別式，設(shè)，由韋達(dá)定理得，計(jì)算并代入即得；

（2）寫出線段的垂直平分線方程，令求出，利用可得的范圍．

（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程，把分別用代入并化簡(jiǎn)，然后再代入(1)中的，整理后可知直線過(guò)定點(diǎn)．

（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，由得，

設(shè)，則，

∴為定值；

（2）由（1）知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的中垂線方程為：

，令得，

又，即，∴。

（3）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線方程為：，

整理得，

而，

∴直線方程為，

∴直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為。