Question

【題目】已知過定點且與直線垂直的直線與軸、軸分別交于點，點滿足.

（1）若以原點為圓心的圓與有唯一公共點，求圓的軌跡方程；

（2）求能覆蓋的最小圓的面積；

（3）在（1）的條件下，點在直線上，圓上總存在兩個不同的點使得為坐標(biāo)原點），求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1），得在直線上，求出 ，確定圓的半徑則方程可求

（2）由幾何關(guān)系得能覆蓋三角形ABC的最小圓是以AB為直徑的圓，計算，則圓的面積可求

（3）由，則有OP與MN互相垂直平分，得利用點在直線上得的不等式求解

（1）因為，所以在線段的垂直平分線上，即在直線上，

故

以原點為圓心的圓與有唯一公共點，

此時圓的半徑

故：圓的方程為

（2）由于三角形ABC為鈍角三角形且AB為最長邊，故能覆蓋三角形ABC的最小圓是以AB為直徑的圓

由于點，所以

故該圓的半徑為

所以能覆蓋該三角形的最小圓面積

（3）（O為坐標(biāo)原點），則有OP與MN互相垂直平分，

所以圓心到直線MN的距離小于1.即又

又，代入（1）得

所以實數(shù)的取值范圍為