Question

【題目】已知函數(shù)，且函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）且函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）由求得的值，再由可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可進(jìn)一步求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）求得，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）由題意可得，解得，

易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，，

又，設(shè)，則恒成立，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，則當(dāng)時(shí)，即

當(dāng)時(shí)，即.

所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）由，可得，且，

設(shè)，即，

又，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí).

①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在恒成立，

所以，函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，故不滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，有，設(shè)的兩根為、，

則有，，

故，則時(shí)，時(shí)，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，故，，

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，

又在單調(diào)遞增，，即函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，故不滿足題意；

當(dāng)，即時(shí)，

則使得，且當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)，

極值點(diǎn)為和，故滿足題意，

綜上可得，符合條件的的取值范圍為.