Question

【題目】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) 甲比乙的射擊技術(shù)好.

【解析】

（1）由題意利用題中的條件已知甲、乙兩名射手每次射擊中的環(huán)數(shù)大于環(huán)，且甲射中環(huán)的概率分別為，可以得到，解出的值，再有隨機(jī)變量的意義得到相應(yīng)的分布列；（2）由于（1）中求得了隨機(jī)變量的分布列，利用期望與方差公式求出期望與方差可得甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好.

(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.

因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.

所以ξ，η的分布列分別為：

ξ	10	9	8	7
P	0.5	0.3	0.1	0.1
η	10	9	8	7
P	0.3	0.3	0.2	0.2

(2)由(1)得：

E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；

E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；

D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；

D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.

由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好.