Question

【題目】對(duì)于區(qū)間，若函數(shù)同時(shí)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)， 的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間．

（）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間．

（）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）在的值域是，且，所以，所以，從而結(jié)合單調(diào)性列方程求解即可；

（2）分和兩種情況分別在定義域上求值域列方程求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，且在的值域是，

所以， 所以，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故有解得．

又，所以．

所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為．

（）若函數(shù)存在“保值”區(qū)間，則有：

①若，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以 ，消去得，整理得．

因?yàn)?/span>，所以，即．

又， 所以．

因?yàn)?/span>，

所以．

②若，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，消去得，整理得．

因?yàn)?/span>，所以，即．

又，所以．

因?yàn)?/span>，

所以．

綜合①、②得，函數(shù)存在“保值”區(qū)間，此時(shí)的取值范圍是．