Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，為橢圓上位于第一象限上的點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、在直線的同側(cè)），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）x﹣y﹣20．

【解析】

（Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和、、的關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得、，進(jìn)而得到所求橢圓方程；

（Ⅱ）求得的坐標(biāo)和右焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，可得線、的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得，同理可得，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到，進(jìn)而得到所求直線方程．

（Ⅰ）橢圓的離心率為，

即，可得，，

由，可得為的中點(diǎn)，

所以，即，

所以，即，，，

所以橢圓的方程為1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，右焦點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又，直線、的斜率互為相反數(shù)，

設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，

消去，可得，

設(shè)、，則，所以，

將換為，同理可得，，，

，

所以直線的方程為，即．