Question

已知(

3

x

+ax2)2n的展開式記為R，（3x-1）ⁿ的展開式記為T．已知R的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和比T的偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和大496．
（1）求R中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求R中的有理項(xiàng)；
（3）確定實(shí)數(shù)a的值使R，T中有相同的項(xiàng)，并求出相同的項(xiàng)．

Answer 1

分析：先由R的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和比T的偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和大496建立方程求出n．
（1）由二項(xiàng)式的形式可以判斷出，第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，用公式求出即可；
（2）給出展開式的通項(xiàng)公式，研究其指數(shù)，找出有理項(xiàng)．
（3）求出（3x-1）ⁿ的展開式中的項(xiàng)，根據(jù)兩個(gè)展開式中的項(xiàng)比對(duì)，得到方程r=1-

3

5

t，再由0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0，r=1時(shí)有相同項(xiàng)，建立方程求參數(shù)值即可

解答：解：由題意2^2n-1-2^n-1=496，解得n=5
（1）由已知(

3	x

+ax2)2n的展開式中第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，結(jié)果為

C

5 10

(ax2)5(

3	x

)5=252a5x

35

3

（2）R展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=

C

r 10

(

3	x

)10-r(ax2)r
由

10-r

3

+2r∈z且0≤r≤10，所以r=1，4，7，10
故R中的有理項(xiàng)為T₂=10ax⁵，T₅=210a⁴x¹⁰，T₈=120a⁷x¹⁵，T₁₁=a¹⁰x²⁰
（3）T展開式的通項(xiàng)公式S_t+1=C₅^t（3x）^5-t（-1）^t
由

10-r

3

+2r=5-t即3t=5（1-r）
所以r=1-

3

5

t
又0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0
當(dāng)t=0時(shí)，r=1，此時(shí)10a=3⁵，得a=

243

10

故a=

243

10

時(shí)R，T中有相同的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式系數(shù)的展開式及展開式中項(xiàng)與指數(shù)的關(guān)系，由此根據(jù)題設(shè)要求建立方程求解即可．本題運(yùn)算量較大，符號(hào)運(yùn)算較多，解題時(shí)運(yùn)算要認(rèn)真，避免運(yùn)算時(shí)一錯(cuò)全錯(cuò)．