Question

已知的邊所在直線的方程為,滿足, 點(diǎn)在所在直線上且．

（Ⅰ）求外接圓的方程；
（Ⅱ）一動(dòng)圓過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求此動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（Ⅲ）過點(diǎn)斜率為的直線與曲線交于相異的兩點(diǎn)，滿足，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）,從而直線AC的斜率為．
所以AC邊所在直線的方程為．即． 
由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
   
又．            
所以外接圓的方程為: ．                     
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓圓心為，因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，且與外接圓外切，
所以，即．                                          
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，半焦距的雙曲線的左支．    
從而動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．
(Ⅲ)直線方程為：,設(shè)
由得
解得：
故的取值范圍為
點(diǎn)評(píng)：利用圓錐曲線定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是常出現(xiàn)的考點(diǎn)，要注意的是動(dòng)點(diǎn)軌跡是整條圓錐曲線還是其中一部分