Question

【題目】已知奇函數的定義域為[-1,1]，當時，。

（1）求函數在上的值域；

（2）若時，函數的最小值為-2，求實數λ的值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用函數的奇偶性、指數函數的單調性求出函數f（x）在上的值域．

（2）根據f（x）的范圍，利用條件以及二次函數的性質，分類討論求得實數λ的值．

（1）設x∈（0，1]，則﹣x∈[﹣1，0）時，所以f（﹣x）2x．

又因為f（x）為奇函數，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），

所以當x∈（0，1]時，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以在上的值域為（1，2]，

（2）由（1）知當x∈（0，1]時，f（x）∈（1，2]，

所以f（x）∈（，1]．

令tf（x），則 t≤1，

g（t）f2（x）f（x）+1＝t2﹣λt+11，

①當，即λ≤1時，g（t）＞g（），無最小值，

②當1，即1＜λ≤2時，g（t）min＝g（）＝12，

解得λ＝±2 （舍去）．

③當1，即λ＞2時，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，

綜上所述，λ＝4．