Question

【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，P是坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率之積等于，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線，的交點(diǎn)在直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，列式，化簡（注意斜率存在的條件），求軌跡方程.

（2）直線傾斜角不為0，設(shè)直線的方程（不用取討論斜率是否存在），聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元，韋達(dá)定理，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線和方程，求交點(diǎn)，進(jìn)而求出，即證明交點(diǎn)在直線.

（1）設(shè)點(diǎn)，，

則，得，即.

故軌跡C的方程為：.

（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線的方程為：，

由，消去x并整理得.

其中，.

設(shè)，，則，.

因直線的傾斜角不為0，故，不等于（，不為0），

從而可設(shè)直線的方程為：——①，

直線的方程為：——②，

所以，直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：

.

而

，

因此，，即點(diǎn)Q在直線上.