Question

【題目】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，拋物線的焦點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示.

(1)求雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線與雙曲線的過一、三象限的漸近線平行，且交拋物線于兩點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】分析：(1)先根據(jù)M坐標(biāo)求p,得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再將M坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立方程組解得a,b，(2)先求漸近線方程，設(shè)直線方程，分別與拋物線方程、雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程，解得直線的方程.

詳解：

(1) 代入得

解得

因?yàn)榻裹c(diǎn)為

所以，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上

將代入

所以或 (舍去)

所以

所以她物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)漸近線

設(shè)直線，

別消去得

將代入得

，解得或，經(jīng)驗(yàn)證，不合題意，故舍去.

所以