Question

（本小題滿分15分）已知點(diǎn)P（4，4），圓C：與橢圓E：
有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F₁．F₂分別是橢圓的左．右焦點(diǎn)，直線PF₁與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）點(diǎn)A代入圓C方程，           得．  ∵m＜3，∴m＝1．
圓C：．設(shè)直線PF₁的斜率為k，
則PF₁：，即．
∵直線PF₁與圓C相切，∴．
解得．當(dāng)k＝時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意舍去．
當(dāng)k＝時(shí)，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為－4，
∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，
b²＝2．橢圓E的方程為：．
（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，
．∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
則的取值范圍是[0，36]．
的取值范圍是[－6，6]．
∴的取值范圍是[－12，0]．

略