Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c+lnx（a≠0），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=x-1．
（Ⅰ）試用a表示b、c；
（Ⅱ）討論f（x）的定義域上的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：分類討論,導數(shù)的概念及應用,不等式的解法及應用

分析：第（1）問較簡單，先將（1，f（1））代入切線方程求出f（1），再將（1，f（1））代入f（x）得到一個關于a，b，c的方程，再利用f′（1）=1得到第二個關于a，b，c的方程．聯(lián)立即可用a表示b，c．
第（2）問應該先求定義域，然后求導，將討論單調性的問題轉化為一個討論不等式的問題，一般是將不等式化歸為一元二次不等式的問題，然后結合二次函數(shù)的圖象對不等式的解進行討論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b+

1

x

，∴f′（1）=2a+b+1，又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=x-1，∴2a+b+1=1，f（1）=a+b+c=0，∴b=-2a，c=a
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=2ax-2a+

1

x

=

2ax2-2ax+1

x

=

2a(x- 1 2 )2+1- a 2

x

（x＞0），
①當a＜0時，1-

a

2

＞0，令f′（x）=0得x1=

1

2

(1-

1- 2 a

)＜0，x2=

1

2

(1+

1- 2 a

)＞0，
∴當x∈(0，

1

2

(1+

1- 2 a

))時，f′(x)＞0，f（x）單調遞增，當x∈(

1

2

(1+

1- 2 a

)，+∞)時，f′(x)＜0，f（x）單調遞減；
②當0＜a≤2時，1-

a

2

≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a＞2時，1-

a

2

＜0，令f′（x）=0得x1=

1

2

(1-

1- 2 a

)＞0，x2=

1

2

(1+

1- 2 a

)，
當x∈(0，

1

2

(1-

1- 2 a

))時，f′(x)＞0，f（x）單調遞增，
當x∈(

1

2

(1-

1- 2 a

)，

1

2

(1+

1- 2 a

))時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈(

1

2

(1+

1- 2 a

)，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

點評：研究函數(shù)的單調性，本質上就是求解不等式的問題，一般的思路是求定義域、求導數(shù)、化簡成一元二次不等式、解不等式．最后一個環(huán)節(jié)往往是借助于不等式所對應的二次函數(shù)圖象分類討論解決問題．這是一個高考的重點，也是熱點問題．