Question

【題目】已知直線與函數(shù)的圖像相切于點．

（1）求實數(shù)的值；

（2）證明除切點外，直線總在函數(shù)的圖像的上方；

（3）設(shè)是兩兩不相等的正實數(shù)，且成等比數(shù)列，試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3) ；證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用直線與曲線相切的關(guān)系列方程求解可得 ；

(2) 構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意、原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的聯(lián)系進行證明即可；

(3)，利用題意結(jié)合(1),(2)的結(jié)論和對數(shù)的性質(zhì)進行證明即可.

試題解析：

（1）設(shè)切點為，則．

由，有，解得，

于是，得．

（2）構(gòu)造函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)．

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．

所以．

因此對于，總有，

即除切點外，直線總在函數(shù)的圖像的上方．

（3）因為是兩兩不相等的正實數(shù)，所以．

又因為成等比數(shù)列，所以，

于是．

而，

．

由于，且函數(shù)是增函數(shù)，因此

，

故．