Question

（2009•天門模擬）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（Ⅰ）當x=2時，求證：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥EF于H，連BH，GH．由面面垂直性質定理，證出DH⊥平面EBCF，從而得到EG⊥DH．由正方形BGHE中，EG⊥BH且BH∩DH=H，可得EG⊥平面DBH，從而證出BD⊥EG；
（2）由面面垂直性質定理證出AE⊥面EBCF，結合（Ⅰ）知AE

∥

.

GH，可得V_F-BCD=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

S△BFC•AE，因此f（x）=-

2

3

(x-2)2+

8

3

，利用二次函數(shù)的圖象與性質可得當x=2時，即AE=2時函數(shù)有最大值為

8

3

．

解答：解：（Ⅰ）作DH⊥EF于H，連BH，GH
∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊥EF
∴DH⊥平面EBCF
∵EG?平面EBCF，∴EG⊥DH
又∵四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH
∵BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH
∵BD?平面DBH，∴EG⊥BD．
（Ⅱ）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF
∴AE⊥面EBCF
由（Ⅰ）知DH⊥平面EBCF，可得AE

∥

.

GH
∴f（x）=V_A-BFC=

1

3

S△BFC•DH
=

1

3

S△BFC•AE=

1

3

•

1

2

•4•(4-x)x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

因此，當且僅當x=2時，f（x）有最大值為

8

3

．

點評：本題給出平面圖形的翻折問題，在所得幾何體中證明線線垂直并求三棱錐體積的最大值，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質、錐體體積和二次函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．