Question

（2009•天門模擬）已知兩點A（-2，0），B（0，2），點P是曲線C：

x=1+cosa y=sina

上任意一點，則△ABP面積的最小值是（　　）

• A．3+

  2

• B．2
• C．3
• D．3-

  2

  ．

Answer 1

分析：利用點A，B的坐標即可得出直線AB的方程，|AB|．利用點到直線的距離公式即可得出點P到直線AB的距離d，可得△ABP面積S=

1

2

|AB|•d，再利用正弦函數(shù)的單調性即可得出面積最小值．

解答：解：∵兩點A（-2，0），B（0，2），
∴直線AB的方程為

x

-2

+

y

2

=1，化為x-y+2=0，|AB|=

(-2)2+22

=2

2

．
點P到直線AB的距離d=

|1+cosα-sinα+2||

2

=

| 2 sin(α- π 4 )-3|

2

，
∴△ABP面積S=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×2

2

×

| 2 sin(α- π 4 )-3|

2

=|

2

sin(α-

π

4

)-3|，
當且僅當sin(α-

π

4

)=1時，S取得最小值3-

2

．

點評：熟練掌握、截距式、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、正弦函數(shù)的單調性等是解題的關鍵．