Question

已知數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：(其中).

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）首先由求出，然后時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，即可證明在條件下數(shù)列是等比數(shù)列，將時(shí)的值代入也符合，即證；（2）先由（1）得到，然后寫出的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由累加法求其前項(xiàng)和為，再判斷與的關(guān)系.
試題解析：（1）證明：由，得，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
時(shí)，也符合，所以數(shù)列是等比數(shù)列；    .5分
（2），由（I）得，所以.
所以，
數(shù)列的前n項(xiàng)和

.                      10分
（3）證明：
 
所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為


因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以                    14分
考點(diǎn)：1、函數(shù)的構(gòu)造；2、等比數(shù)列的性質(zhì)；3、等比數(shù)列的前項(xiàng)和；4、累加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.