Question

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點A，D為PA的中點，過點D引割線交⊙O于B、C兩點．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設M=

.

1 0 0 2

.

，N=

.

1 2 0 0 1

.

，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

Answer 1

分析：A先根據(jù)條件得到DP²=DB•DC；進而得到△BDP∽△PDC即可得到結論；
B 先求出MN，再設（x，y）是曲線y=sinx上的任意一點，在矩陣MN變換下對應的點為（a，b）．根據(jù)矩陣變換得到即

x=2a y= 1 2 b

，再代入原函數(shù)即可得到結論．
C 把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程可得分別表示圓和一條直線，利用點到直線的距離公式可得弦心距，最后結合弦長公式即可得到結論．
D 分情況去絕對值，分別求解即可．

解答：選做題
A．證明：因為PA與圓相切于A，
所以DA²=DB•DC，…（2分）
因為D為PA中點，所以DP=DA，
所以DP²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

． …（5分）
因為∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，…（8分）
所以∠DPB=∠DCP．                  …（10分）
B．MN=

.

1 0 0 2

.

.

1 2 0 0 1

.

=

.

1 2 0 0 2

.

，…（4分）
設（x，y）是曲線y=sinx上的任意一點，在矩陣MN變換下對應的點為（a，b）．
則

.

1 2 0 0 2

.

.

x   y

.

=

.

a   b

.

，所以

a= 1 2 x b=2y

即

x=2a y= 1 2 b

       …（8分）
代入y=sinx得：

1

2

b=sin2a，即b=2sin2a．
即曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程為y=2sin2x．  …（10分）
C．曲線C的極坐標方程ρ=

2

cos（θ+

π

4

）=cosθ-sinθ，
化為直角坐標方程為x²+y²-x+y=0，即（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

．…（3分）
直線L：

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

，（t為參數(shù)）可化為3x+4y+1=0，…（6分）
圓心到直線的距離d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

5

=

1

10

，…（8分）
弦長L=2

R2-d2

=

7

5

．．…（10分）
D．當x≥4時，2x+1-x+4＜2，解得x＜-3（舍去）；…（3分）
當-

1

2

≤x＜4時，2x+1+x-4＜2，解得x＜

5

3

，∴-

1

2

≤x＜

5

3

；…（6分）
當x＜-

1

2

時，-2x-1+x-4＜2，解得x＞-7，∴-7＜x＜-

1

2

．…（9分）
綜上，不等式的解集為（-7，

5

3

）．…（10分）

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，簡單的矩陣運算和絕對值不等式的解法，屬于基礎題．