Question

（選做題）在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
（B）（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M有特征值λ=8，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e=

1 1

，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成點(diǎn)（-2，4），求矩陣M²．
（C）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數(shù)方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數(shù)，t∈R）．試在曲線C上一點(diǎn)M，使它到直線l的距離最大．

Answer 1

分析：（B）利用矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系及矩陣的運(yùn)算即可求出；
（C）先把極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出．

解答：（B）解：設(shè)M=

a b c d

，則由

a-8 b c d-8

 

1 1

=

0 0

，得

a-8+b=0 c+d-8=0

，
即a+b=8，c+d=8．
由

a b c d

-1 2

=

-2 4

，得

-a+2b -c+2d

=

-2 4

，
從而-a+2b=-2，-c+2d=4．
由a+b=8，-a+2b=-2，c+d=8，-c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4
∴M=

6 2 4 4

，M2=

6 2 4 4

6 2 4 4

=

44 20 40 24

．
（C）解：由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，
可得C的普通方程是x²+3y²=3，
即

x2

3

+y2=1．
由直線l的參數(shù)方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數(shù)，t∈R）消去參數(shù)td得
直線l的普通方程是x+

3

y-

3

=0．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(

3

cosθ，sinθ)，則點(diǎn)M到直線l的距離是
d=

| 3 cosθ+ 3 sinθ- 3 |

2

=

3 | 2 sin(θ+ π 4 )-1|

2

．
當(dāng)sin(θ+

π

4

)=-1時(shí)，
即θ+

π

4

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得θ=2kπ+

5π

4

，k∈Zd取得最大值，
此時(shí)

3

cosθ=-

6

2

，sinθ=-

2

2

，
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-

6

2

，-

2

2

)時(shí)，M到直線l的距離最大．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系及矩陣的運(yùn)算、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及利用點(diǎn)到直線的距離公式求最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．