Question

（1）求經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），且與直線l：x=-3相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線的方程為mx²+ny²=1（mn＜0），根據(jù)題意建立關(guān)于m、n的方程組，解出m、n之值即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合題意可得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以A為焦點(diǎn)、直線l為準(zhǔn)線拋物線，再利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本概念，可算出動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線的方程為mx²+ny²=1（mn＜0），
∵點(diǎn)（-7，6

2

）、（2

7

，3）在雙曲線上，
∴

m×(-3)2+n×(2 7 )2=1 m×(-6 2 )2+n×(-7)2=1

，解得

m=- 1 75 n= 1 25

，
由此可得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

25

-

x2

75

=1．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），
設(shè)⊙M與直線l：x=-3的切點(diǎn)為N，可得MN⊥l且|MA|=|MN|，
∴動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x=-3的距離相等，
由拋物線的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是以A（3，0）為焦點(diǎn)、x=-3為準(zhǔn)線拋物線，
∴

p

2

=3，可得2p=12，拋物線的方程為y²=12x，即為動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題求滿足條件的雙曲線方程和動(dòng)圓圓心的軌跡．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．