Question

（1）求經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知雙曲線與橢圓

x2

27

-

y2

36

=1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為：nx²+my²=1，（mn＜0），結(jié)合點(diǎn)A和B在雙曲線上，可得關(guān)于m與n的方程組，求出m與n的值即可得到答案．
（2）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故有焦點(diǎn)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），由此設(shè)出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求出此點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出參數(shù)即得雙曲線方程，再由其性質(zhì)求漸近線方程即可．

解答：解�。�1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為nx²+my²=1（m•n＜0），
又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7），
所以

28m+9n=1 49m+72n=1

解得

m= 1 25 n=- 1 75

所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

25

-

x2

75

=1．
（2）因?yàn)闄E圓

x2

27

-

y2

36

=1的焦點(diǎn)為（0，-3），（0，3），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（±

15

，4），
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以

a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1

解得

a2=4 b2=5

所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

-

x2

5

=1．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是兩者共同的特征設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)要善于抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)．