Question

拋物線的頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的一個焦點，并與雙曲線的實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點位(-

6

，-

3

2

)分別求：
（1）拋物線的方程
（2）雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，可得p=2c，利用拋物線過點(-

6

，-

3

2

)，可求求出c、p的值，從而可得拋物線方程
（2）利用雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1過點(-

6

，-

3

2

)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)a²+b²=c²，即可求得雙曲線方程．

解答：解：（1）由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的下焦點為焦點，準(zhǔn)線過雙曲線的上焦點，∴p=2c．
設(shè)拋物線方程為x²=-4c•y，
∵拋物線過點(-

6

，-

3

2

)，∴6=-4c•（-

3

2

）．
∴c=1，故拋物線方程為x²=-4y．
（2）∵雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1過點(-

6

，-

3

2

)，
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1．
∵a²+b²=c²=1，∴

9 4

a2

-

6

1-a2

=1．
∴a²=

1

4

或a²=9
∵a²+b²=c²=1
∴a²=9（舍）．
∴b²=

3

4

，
故雙曲線方程為

y2

1 4

-

x2

3 4

=1

點評：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數(shù)法，考查了學(xué)生的基本運算能力與運算技巧．熟練掌握圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．