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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
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          的橢圓的中心在原點,其焦點F1,,F2在x軸上.拋物線的頂點在原點O,對稱軸為y軸,兩曲線在第一象限內相交于點A,且AF1⊥AF2,△AF1F2的面積為3.
          (Ⅰ)求橢圓和拋物線的標準方程;
          (Ⅱ)過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B,C,若
          AC
          =2
          AB
          ,求直線l的斜率k.
          分析:(Ⅰ)設橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,AF1=m,AF2=n,由題意知
          m2+n2=4c2
          m+n=4
          3
          mn=6
          ,由此能求出橢圓的方程和拋物線方程.
          (Ⅱ)設直線l的方程為y-1=k(x-2
          2
          )
          ,B(x1,y1),C(x2,y2).由
          AC
          =2
          AB
          ,得2x1-x2=2
          2
          ,聯(lián)立直線與拋物線的方程
          y-1=k(x-2
          2
          )
          x2=8y
          ,得x2-8kx+16
          2
          k-8=0
          ,x1+2
          2
          =8k
          .聯(lián)立直線與橢圓的方程
          y-1=k(x-2
          2
          )
          x2+4y2=12
          ,得(1+4k2)x2+(8k-16
          2
          k2)x+32k2-16
          2
          k-8=0
          .由此能求出直線l的斜率.
          解答:解:(Ⅰ)設橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,AF1=m,AF2=n

          由題意知
          m2+n2=4c2
          m+n=4
          3
          mn=6
          …(2分)
          解得c2=9,∴b2=12-9=3.
          ∴橢圓的方程為
          x2
          12
          +
          y2
          3
          =1
          …(4分)
          ∵yA×c=3,∴yA=1,代入橢圓的方程得xA=2
          2
          ,
          將點A坐標代入得拋物線方程為x2=8y.         …(6分)
          (Ⅱ)設直線l的方程為y-1=k(x-2
          2
          )
          ,B(x1,y1),C(x2,y2
          AC
          =2
          AB
          x2-2
          2
          =2(x1-2
          2
          )
          ,
          化簡得2x1-x2=2
          2
          …(8分)
          聯(lián)立直線與拋物線的方程
          y-1=k(x-2
          2
          )
          x2=8y

          x2-8kx+16
          2
          k-8=0

          x1+2
          2
          =8k
          ①…(10分)
          聯(lián)立直線與橢圓的方程
          y-1=k(x-2
          2
          )
          x2+4y2=12

          (1+4k2)x2+(8k-16
          2
          k2)x+32k2-16
          2
          k-8=0

          x2+2
          2
          =
          16
          2
          k2-8k
          1+4k2
          ②…(12分)
          2x1-x2=2(8k-2
          2
          )-
          16
          2
          k2-8k
          1+4k2
          +2
          2
          =2
          2

          整理得:(16k-4
          2
          )(1-
          2
          k
          1+4k2
          )=0
          k=
          2
          4
          ,所以直線l的斜率為
          2
          4
          .       …(14分)
          點評:本題考查橢圓和拋物線的標準方程的求法和求直線l的斜率k.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,靈活運用橢圓性質,合理地進行等價轉化.
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