Question

21.在以O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，－3）為△OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.

（1）求向量的坐標(biāo)；

（2）求圓x²－6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的圓的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a,使拋物線y=ax²－1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求a的取值范圍.

Answer 1

21.（1）設(shè)=（u,v）,則由，即,

得,或.

因?yàn)?IMG align="middle" height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/48/189806714810014248/6.gif" width=28 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1030">=+=（u+4,v－3）,

所以v－3>0,得v=8,故=（6,8）.

 

（2）由=（10,5），得B（10,5），于是直線OB方程為：y=x.

由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x－3）²+（y+1）²=10,得圓心（3,－1），半徑為.

設(shè)圓心（3,－1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x, y）,則

,得,

故所求圓的方程為（x－1）²+（y－3）²=10.

 

（3）設(shè)P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則

,得.

即x₁、x₂為方程x²+x+=0的兩個(gè)相異實(shí)根，于是由Δ=－4·>0,得a>.

故當(dāng)a>時(shí)，拋物線y=ax²－1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).