Question

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)．已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零．
（1）求向量

AB

的坐標(biāo)；
（2）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出要求的向量的坐標(biāo)，根據(jù)所給的模長的關(guān)系和直角三角形兩條直角邊垂直的關(guān)系，寫出關(guān)于向量坐標(biāo)的關(guān)系式，解方程，舍去不合題意的結(jié)果，得到向量的坐標(biāo)．
（2）要求圓關(guān)于直線的對稱圓，只要求出圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可，本題需要先根據(jù)向量的坐標(biāo)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，通過計(jì)算得到結(jié)果．
（3）設(shè)出拋物線上關(guān)于直線的對稱的兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上且兩點(diǎn)連線與已知直線垂直，寫出所設(shè)的點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程有解用判別式得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)

AB

={u，v}，
則由|

AB

|=2|

OA

|，

AB

•

OA

=0
即

u2+v2=100 4u-3v=0

得

u=6 v=8

，或

u=-6 v=-8

．
∵

OB

=

OA

+

AB

={u+4，v-3}，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴

AB

={6，8}；
（2）由

OB

={10，5}，得B（10，5），
于是直線OB方程：y=

1

2

x．
由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圓心（3，-1），半徑為

10

．
設(shè)圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為（x，y）
則

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

，
得

x=1 y=3

，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱兩點(diǎn)，
則

x1+x2 2 -2 y1+y2 2 =0 y1-y2 x1-x2 =-2

，
得

x1+x2=- 2 a x1x2= 5-2a 2a2

即x₁，x₂為方程x2+

2

a

x+

5-2a

2a2

=0的兩個(gè)相異實(shí)根，
于是由△=

4

a2

-4•

5-2a

2a2

＞0，
得a＞

3

2

．
∴當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題是近幾年高考常考的問題，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的