Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3sinx+2cosx+1．若實(shí)數(shù)a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則

bcosc

a

的值為（　　）

• A．-1
• B．

  1

  2

• C．1
• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：將f（x）解析式前兩項(xiàng)變形利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，表示出f（x）與f（x-c），代入已知等式中變形后根據(jù)x為R時恒成立列出關(guān)系式，聯(lián)立即可求出所求式子的值．

解答：解：由題設(shè)可得f（x）=

13

sin（x+θ）+1，f（x-c）=

13

sin（x+θ-c）+1，其中cosθ=

3

13

，sinθ=

2

13

（0＜θ＜

π

2

），
∴af（x）+bf（x-c）=1可化成

13

asin（x+θ）+

13

bsin（x+θ-c）+a+b=1，
即

13

（a+bcosc）sin（x+θ）-

13

bsinccos（x+θ）+（a+b-1）=0，
由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有

a+bcosc=0① bsinc=0② a+b-1=0③

，
若b=0，則式（1）與式（3）矛盾；
故此b≠0，由（2）式得到：sinc=0，
當(dāng)cosc=1時，有矛盾，故cosc=-1，
由①③知a=b=

1

2

，
則

bcosc

a

=-1．
故選A

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)恒成立問題，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．