Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=

1

2

AD，PA=PD，E，F(xiàn)為AD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：AD⊥PB．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O，并連接EC，F(xiàn)O，∵BC∥AD，BC=

1

2

AD，E為AD中點，∴AE∥BC，且AE=BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，…（1分）
∴O為AC中點．…（2分）
又∵F為AD中點，∴OF∥PA．…（4分）
∵OF?平面BEF，PA?平面BEF，…（5分）∴PA∥平面BEF． …（7分）
（Ⅱ）連接PE，∵PA=PD，E為AD中點，∴AD⊥PE．…（8分）
∵

BC∥AD，BC= 1 2 AD

，E為AD的中點，∴BCDE為平行四邊形，∴BE∥CD．
∵AD⊥CD，∴AD⊥BE．

…

（9分）
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，…12分
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB． …14分