Question

如圖所示，點(diǎn)A（p，o）（p＞0），點(diǎn)R在y軸上運(yùn)動，點(diǎn)T在x軸上，N為動點(diǎn)，且．
（I）設(shè)動點(diǎn)N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（II）設(shè)P，Q是曲線C上的兩個動點(diǎn)，M（x，y）是曲線C上一定點(diǎn)，若，試證明直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)N（x，y），由知R是TN的中點(diǎn)，則T（-x，0），R（0，），由，知，由此能求出點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程．
（II）設(shè)，則，．由，得PM⊥QM，k_MP•k_MQ=-1，，由此能推導(dǎo)出直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)（x+4p，-y）．
解答：解：（I）設(shè)N（x，y），由知R是TN的中點(diǎn)，
則T（-x，0），R（0，），
∵，
∴，
整理，得y²=4px（p＞0）．
故點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程是y²=4px（p＞0）．
（II）設(shè)，
則，
．
由，得PM⊥QM，
∴k_MP•k_MQ=-1，
∴，
從而（-1）（y+y₁）（y+y₂）=16p²．
∴（y₁+y₂）y+y₁y₂+y²+16p²=0．①
直線PQ的方程為，
即（y₁+y₂）y-y₁y₂-4px=0．
①可變?yōu)椋▂₁+y₂）（-y）-y₁y₂-4p（x+4p）=0，
∴直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)（x+4p，-y）．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．