Question

如圖所示，點(diǎn)A（1，0）．點(diǎn)R在y軸上運(yùn)動(dòng)，T在x軸上，N為動(dòng)點(diǎn)，且=0，
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B（-2，0）的直線l與曲線C交于點(diǎn)P、Q，若在曲線C上存在點(diǎn)M，使得△MPQ為以PQ為斜邊的直角三角形，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)N（x，y），由題得R是TN的中點(diǎn)所以，代入得點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程y²=4x
（2）直線l與曲線C交于點(diǎn)P、Q所以直線l的斜率不等于0，設(shè)其為x=my-2，代入曲線C的方程y²=4x，△=16m²-32＞0，即m²＞2，因?yàn)椤鱉OQ是以PQ為斜邊的直角三角形，所以，化簡(jiǎn)可得8+4mt+t²+16=0關(guān)于t的方程t²+4mt+24=0有實(shí)根，∴△=16m²-96≥0，又所以．
解答：解：（1）設(shè)N（x，y），由知：R是TN的中點(diǎn)，
則
則y²=4x就是點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程：
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-2，代入曲線C的方程y²=4x，
得y²-4my+8=0，此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△=16m²-32＞0，即m²＞2
M在曲線C上，P、Q是直線l與曲線C的交點(diǎn)，設(shè)，
則y₁+y₂=4m，y₁y=8，∵△MOQ是以PQ為斜邊的直角三角形，
∴
且，
∴，
顯然y₁-t≠0，y₂-t≠0，
∴t為點(diǎn)M的坐標(biāo)，
∴關(guān)于t的方程t²+4mt+24=0有實(shí)根，∴△=16m²-96≥0．
∴m²≥6，直線l的斜率，∴k≠0且，∴或
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用相關(guān)點(diǎn)代入法求曲線的方程重點(diǎn)考查三角形的形狀的構(gòu)成問(wèn)題．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合曲線的形狀和性質(zhì)靈活表達(dá)垂直關(guān)系．