Question

【題目】設(e為自然對數(shù)的底數(shù))，．

(I)記.

(i)討論函數(shù)單調性；

(ii)證明當時，恒成立

(II)令，設函數(shù)G(x)有兩個零點，求參數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i）當時， 單調減；當時， 單調增;（ii）見解析;

（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）(1)由函數(shù)求出它的導函數(shù),根據(jù)其導函數(shù)的正負,即可得到函數(shù)單調區(qū)間即可.
(2)構造函數(shù),對進行討論，證明其最小值大于0.

（Ⅱ）,,通過對分類討論研究其單調性，得到有兩個零點時的范圍.

試題解析：（Ⅰ）．

，

所以，當時，，單調減；

當時，，單調增．

，

令，，

，

所以，又，所以

時，恒成立，即

當時，恒成立．

（Ⅱ）由已知，，

．

當時，，有唯一零點；

②當時，，所以

當時，，單調減；

當時，，單調增．

所以，

因，所以當時有唯一零點；

當時，，，所以，

所以，

因為，

所以，，且，當，或時，使，

取，則，從而可知

當時，有唯一零點，

即當時，函數(shù)有兩個零點．

③當時，，由，得，或．

若，即時，，所以是單調減函數(shù)，至多有一個零點；

若，即時，，注意到，都是增函數(shù)，所以

當時，，是單調減函數(shù)；

當時，，是單調增函數(shù)；

當時，，是單調減函數(shù)．

，所以

至多有一個零點；

若，即時，同理可得

當時，，是單調減函數(shù)；

當時，，是單調增函數(shù)；

當時，，是單調減函數(shù)．

所以，至多有一個零點．

綜上，若函數(shù)有兩個零點，則參數(shù)的取值范圍是．