Question

（2012•德陽三模）定義在R上的奇函數(shù)f（x）=ax³+b-2的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3，1），則

lim

n→∞

an+bn

an-bn

=

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可得，函數(shù)f（x）=ax³+b-2 的圖象過點(diǎn)（1，3），化簡得 a+b=5．再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，b-2=0，從而求得a=3，b=2，把要求的
式子化為

lim

n→∞

1+( 2 3 )n

1-( 2 3 )n

，利用極限的運(yùn)算法則求得結(jié)果．

解答：解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）=ax³+b-2的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（3，1），
∴函數(shù)f（x）=ax³+b-2 的圖象過點(diǎn)（1，3）．
∴a+b-2=3，
∴a+b=5．
再由 f（x）=ax³+b-2是奇函數(shù)，可得 f（0）=0，
∴b-2=0．
綜上可得  a=3，b=2．
∴

lim

n→∞

an+bn

an-bn

=

lim

n→∞

1+( b a )n

1-( b a )n

=

lim

n→∞

1+( 2 3 )n

1-( 2 3 )n

=

1+0

1-0

=1，
故答案為 1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，利用了若反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（a，b），則原函數(shù)的圖象過點(diǎn)（b，a），極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．